向量的数量积

向量的数量积（也称为点积）是向量运算的一种形式，它具有以下基本定义和性质：

基本定义

对于两个非零向量 \\（ \\vec{a} \\） 和 \\（ \\vec{b} \\），它们的数量积定义为：

\\[ \\vec{a} \\cdot \\vec{b} = |\\vec{a}| |\\vec{b}| \\cos \\theta \\]

其中 \\（ \\theta \\） 是向量 \\（ \\vec{a} \\） 和 \\（ \\vec{b} \\） 之间的夹角， \\（ |\\vec{a}| \\） 和 \\（ |\\vec{b}| \\） 分别是向量 \\（ \\vec{a} \\） 和 \\（ \\vec{b} \\） 的模。

坐标表示

如果向量 \\（ \\vec{a} \\） 和 \\（ \\vec{b} \\） 的坐标分别是 \\（ （x_1, y_1, z_1） \\） 和 \\（ （x_2, y_2, z_2） \\），则它们的数量积可以表示为：

\\[ \\vec{a} \\cdot \\vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 \\]

性质

交换律 ： \\（ \\vec{a} \\cdot \\vec{b} = \\vec{b} \\cdot \\vec{a} \\）

分配律 ： \\（ \\vec{a} \\cdot （\\vec{b} + \\vec{c}） = \\vec{a} \\cdot \\vec{b} + \\vec{a} \\cdot \\vec{c} \\）

数乘的结合律 ： \\（ \\lambda （\\vec{a} \\cdot \\vec{b}） = （\\lambda \\vec{a}） \\cdot \\vec{b} = \\vec{a} \\cdot （\\lambda \\vec{b}） \\）

与自身的数量积等于模的平方 ： \\（ \\vec{a} \\cdot \\vec{a} = |\\vec{a}|^2 \\）

垂直向量的数量积为零 ：如果 \\（ \\vec{a} \\perp \\vec{b} \\），则 \\（ \\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 0 \\）

几何意义

向量的数量积在几何上表示为向量 \\（ \\vec{a} \\） 在向量 \\（ \\vec{b} \\） 方向上的投影与 \\（ \\vec{b} \\） 的模的乘积。

计算实例

假设 \\（ \\vec{a} = （1, 2, 3） \\） 和 \\（ \\vec{b} = （4, 5, 6） \\），则它们的数量积为：

\\[ \\vec{a} \\cdot \\vec{b} = 1 \\times 4 + 2 \\times 5 + 3 \\times 6 = 4 + 10 + 18 = 32 \\]

希望这些信息能帮助你理解向量的数量积

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